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\chapter[Intervalos de Confianza para Medias y Proporciones]{Intervalos de Confianza\\ para Medias y Proporciones}

\section{Fundamentos teóricos}

\subsection{Inferencia Estadística y Estimación de Parámetros}
El objetivo de un estudio estadístico es doble: describir la muestra
elegida de una población en la que se quiere estudiar alguna
característica, y realizar inferencias, es decir, sacar conclusiones
y hacer predicciones sobre la población de la que se ha extraído
dicha muestra.

La metodología que conduce a obtener conclusiones sobre la
población, basadas en la información contenida en la
muestra, constituye la \emph{Inferencia Estadística}.

Puesto que la muestra contiene menos información que la población,
las predicciones serán aproximadas. Por eso, uno de los objetivos de
la inferencia estadística es determinar la probabilidad de que una
conclusión obtenida a partir del análisis de una muestra sea cierta,
y para ello se apoya en la teoría de la probabilidad.

Cuando se desea conocer el valor de alguno de los parámetros de la
población, el procedimiento a utilizar es la \emph{Estimación de
Parámetros, }que a su vez se divide en \emph{Estimación Puntual},
cuando se da un único valor como estimación del parámetro
poblacional considerado, y \emph{Estimación por Intervalos}, cuando
interesa conocer no sólo un valor aproximado del parámetro sino
también la precisión de la estimación. En este último caso el
resultado es un intervalo, dentro del cual estará, con una cierta
confianza, el verdadero valor del parámetro poblacional. A este
intervalo se le denomina \emph{intervalo de confianza}. A diferencia
de la estimación puntual, en la que se utiliza un único estimador,
en la estimación por intervalo se emplean dos estimadores, uno para
cada extremo del intervalo.

\subsection{Intervalos de Confianza}
Dados dos estadísticos muestrales $L_1$ y $L_2$, se dice que el
intervalo $I=(L_1,\ L_2)$ es un \emph{Intervalo de Confianza} para
un parámetro poblacional $\theta$, con \emph{nivel de confianza}
$1-\alpha$ (o \emph{nivel de significación} $\alpha $), si la
probabilidad de que los estadísticos que determinan los límites del
intervalo tomen valores tales que $\theta$ esté comprendido entre
ellos, es igual a $1-\alpha$, es decir,
\[
P\left( L_{1}<\theta <L_{2}\right) =1-\alpha
\]

Los extremos del intervalo son variables aleatorias cuyos valores
dependen de la muestra considerada. Es decir, los extremos
inferior y superior del intervalo serían $L_{1}\left(
X_{1},...,X_{n}\right) $ y $L_{2}\left(
X_{1},...,X_{n}\right) $ respectivamente, aunque habitualmente escribiremos $%
L_{1}$ y $L_{2}$ para simplificar la notación. Designaremos mediante $%
l_{1}$ y $l_{2}$ los valores que toman dichas variables para una
muestra determinada $\left( x_{1},...,x_{n}\right) .$

Cuando en la definición se dice que la probabilidad de que el
parámetro $\theta $ esté en el intervalo $\left( L_{1},\
L_{2}\right) $ es $1-\alpha $, quiere decir que en el $100 \left(
1-\alpha \right) \ \% $ de las posibles muestras, el valor de
$\theta $ estaría en los correspondientes intervalos $\left( l_{1},\
l_{2}\right) .$

Una vez que se tiene una muestra, y a partir de ella se determina el
intervalo correspondiente $\left( l_{1},\ l_{2}\right) $, no tendría
sentido hablar de la probabilidad de que el parámetro $\theta $ esté
en el intervalo $\left( l_{1},\ l_{2}\right) $, pues al ser $l_{1}$
y $l_{2}$ números, el parámetro $\theta $, que también es un número,
aunque desconocido, estará o no estará en dicho intervalo, y por
ello hablamos de confianza en lugar de probabilidad.

Así, cuando hablemos de un intervalo de confianza para el parámetro $\theta $ con
nivel de confianza $1-\alpha $, entenderemos que
antes de tomar una muestra, hay una probabilidad $1-\alpha $ de
que el intervalo que se construya a partir de ella, contenga el
valor del parámetro $\theta$. O, dicho de otro modo, si tomasemos 100 muestras
del mismo tamaño y calculásemos sus respectivos intervalos, el $1-\alpha\%$ de
estos contendrían el verdadero valor del parámetro a estimar (ver
figura~\ref{g:100intervalos}).

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\scalebox{1}{\input{intervalos_confianza_1_muestra/img/100_intervalos_confianza_media}}
\caption{Intervalos de confianza del 95\% para la media de 100 muestras
tomadas de una población normal $N(0,1)$. Como se puede apreciar, de los 100
intervalos, sólo 5 no contienen el valor de la media real $\mu=0$. }
\label{g:100intervalos}
\end{center}
\end{figure}

Cuando se realiza la estimación de un parámetro mediante un
intervalo de confianza, el nivel de confianza se suele fijar a
niveles altos (los más habituales son $0.90$, $0.95$ ó $0.99$), para
tener una alta confianza de que el parámetro está dentro del
intervalo. Por otro lado, también interesa que la amplitud del
intervalo sea pequeña para delimitar con precisión el valor del
parámetro poblacional (esta amplitud del intervalo se conoce como
\emph{imprecisión} de la estimación). Pero a partir de una muestra,
cuanto mayor sea el nivel de confianza deseado, mayor amplitud
tendrá el intervalo y mayor imprecisión la estimación, y si se
impone que la estimación sea más precisa (menor imprecisión), el
nivel de confianza correspondiente será más pequeño. Por
consiguiente, hay que llegar a una solución de compromiso entre el
nivel de confianza y la precisión de la estimación. No obstante, si
con la muestra disponible no es posible obtener un intervalo de
amplitud suficientemente pequeña (imprecisión pequeña) con un nivel
de confianza aceptable, hay que emplear una muestra de mayor tamaño.
Al aumentar el tamaño muestral se consiguen intervalos de menor
amplitud sin disminuir el nivel de confianza, o niveles de confianza
más altos manteniendo la amplitud.


\subsubsection{Intervalos de confianza para la media}


Apoyándose en conclusiones extraídas del Teorema Central del Límite
se obtiene que, siempre que las muestras sean grandes (como criterio
habitual se toma que el tamaño muestral, $n$, sea mayor o igual que
30), e independientemente de la distribución original de la variable
de partida $X$, de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$, la
variable
\[
Z=\dfrac{\overline{X}-\mu }{\sigma/\sqrt{n}}
\]
sigue una distribución Normal tipificada, $N(0,1)$.

Si la desviación típica $\sigma$ de la variable de partida es
desconocida, se utiliza como estimación la cuasidesviación típica
muestral:
\[
S_{n-1}=\sqrt{\dfrac{\sum \left( X_{i}-\overline{X}\right)
^{2}}{n-1}}
\]
y con ello, la nueva variable
\[
\dfrac{\overline{X}-\mu }{S_{n-1}/\sqrt{n}}
\]
sigue una distribución $t$ de Student con $n-1$ grados de
libertad, $T(n-1)$.

Para muestras pequeñas ($n<30$) también pueden aplicarse los
resultados anteriores, siempre y cuando la variable aleatoria de
partida $X$, siga una distribución Normal.

A partir de lo anterior y teniendo en cuenta los tres factores de
clasificación expuestos: si la población de partida en la que
obtenemos la muestra sigue o no una distribución Normal, si la
varianza de dicha población es conocida o desconocida, y si la
muestra es grande ($n\geq30$) o no, pueden deducirse las siguientes
expresiones correspondientes a los diferentes intervalos de
confianza.

\subsubsection{Intervalo de confianza para la media de una
población normal con varianza conocida en muestras de
cualquier tamaño}

\[
\left( \overline{x}-z_{\alpha /2}\cdot \dfrac{\sigma }{\sqrt{n}},\ \overline{%
x}+z_{\alpha /2}\cdot \dfrac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)
\]

En la figura \ref{g:intervalomedia} aparece un esquema explicativo de la construcción de este intervalo.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\scalebox{0.8}{\input{intervalos_confianza_1_muestra/img/calculo_intervalo_confianza_media}}
\caption{Cálculo del intervalo de confianza para la media de una población
normal con varianza conocida, a partir de las distribución de la media muestral $\bar x\sim N(\mu,\sigma/\sqrt n)$ para muestras grandes ($n\geq 30$).} \label{g:intervalomedia}
\end{center}
\end{figure}



\subsubsection{Intervalo de confianza para la media de una población
normal con varianza desconocida en muestras de cualquier tamaño}

\[
\left( \overline{x}-t_{\alpha /2}^{n-1}\cdot
\dfrac{s_{n-1}}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+t_{\alpha /2}^{n-1}\cdot
\dfrac{s_{n-1}}{\sqrt{n}}\right)
\]

Si las muestras son grandes ($n\geq30$) el anterior intervalo
puede aproximarse mediante:

\[
\left( \overline{x}-z_{\alpha /2}\cdot \dfrac{s_{n-1}}{\sqrt{n}},\ \overline{%
x}+z_{\alpha /2}\cdot \dfrac{s_{n-1}}{\sqrt{n}}\right)
\]



\subsubsection{Intervalo de confianza para la media de una población no normal,
 varianza conocida y muestras grandes ($n\geq 30$)}

\[
\left( \overline{x}-z_{\alpha /2}\cdot \dfrac{\sigma }{\sqrt{n}},\ \overline{%
x}+z_{\alpha /2}\cdot \dfrac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)
\]

\subsubsection{Intervalo de confianza para la media de una población no normal,
 varianza desconocida y muestras grandes ($n\geq30$)}
\[
\left( \overline{x}-t_{\alpha /2}^{n-1}\cdot
\dfrac{s_{n-1}}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+t_{\alpha /2}^{n-1}\cdot
\dfrac{s_{n-1}}{\sqrt{n}}\right)
\]

Al tratarse de muestras grandes, el anterior intervalo puede
aproximarse por:

\[
\left( \overline{x}-z_{\alpha /2}\cdot \dfrac{s_{n-1}}{\sqrt{n}},\ \overline{%
x}+z_{\alpha /2}\cdot \dfrac{s_{n-1}}{\sqrt{n}}\right)
\]

Si la población de partida no es normal, y las muestras son
pequeñas, no puede aplicarse el Teorema Central del Límite y no se
obtienen intervalos de confianza para la media.

Para cualquiera de los anteriores intervalos:
\begin{quote}

$n$ es el tamaño de la muestra.

$\overline{x}$ es la media muestral.

$\sigma $ es la desviación típica de la población.

$s_{n-1}$ es la cuasidesviación típica muestral: $s_{n-1}^{2}=
\dfrac{\sum \left( x_{i}-\overline{x}\right) ^{2}}{n-1}$.

$z_{\alpha /2}$ es el valor que deja a su derecha una probabilidad
$\alpha /2 $ en una distribución Normal tipificada.

$t_{\alpha /2}^{n-1}$ es el valor que deja a su derecha una probabilidad $%
\alpha /2$ en una distribución $t$ de Student con $n-1$ grados
de libertad.

\end{quote}

\subsubsection {Intervalos de confianza para la proporción poblacional $p$}

Para muestras grandes ($n\geq30~$) y valores de $p$ (probabilidad de
``éxito'') cercanos a $0.5$, la distribución Binomial puede
aproximarse mediante una Normal de media $np$ y desviación típica
$\sqrt {np(1-p)}$. En la práctica, para que sea válida dicha
aproximación, se toma el criterio de que tanto $np$ como $n(1-p)$
deben ser mayores que 5. Esto hace que también podamos construir
intervalos de confianza para proporciones tomando éstas como medias
de variables dicotómicas en las que la presencia o ausencia de la
característica objeto de estudio (``éxito'' ó ``fracaso'') se
expresan mediante un 1 ó un 0 respectivamente.

De este modo, en muestras grandes y con distribuciones binomiales
no excesivamente asimétricas (tanto $np$ como $n(1-p)$ deben ser
mayores que 5), si denominamos $\widehat{p}$ a la proporción de
individuos que presentan el atributo estudiado en la muestra
concreta, entonces el intervalo de confianza para la proporción
con un nivel de significación $\alpha$ viene dado por:

\[
\left( \widehat{p}-z_{\alpha /2}\cdot \sqrt{\dfrac{\widehat{p}\cdot (1-%
\widehat{p})}{n}}\ ,\ \widehat{p}+z_{\alpha /2}\cdot \sqrt{\dfrac{\widehat{p}%
\cdot (1-\widehat{p})}{n}}\right)
\]

donde:
\begin{quote}
$n$ es el tamaño muestral.

$\widehat{p}$ a la proporción de individuos que presentan el
atributo estudiado en la muestra concreta.

$z_{\alpha /2}$ es el valor que deja a su derecha una probabilidad
$\alpha /2 $ en una distribución Normal tipificada.
\end{quote}

En muestras pequeñas o procedentes de una Binomial fuertemente
asimétrica ($np \leq 5$ ó $n(1-p)\leq 5$) no puede aplicarse el
Teorema Central del Límite y la construcción de intervalos de
confianza debe realizarse a partir de la distribución Binomial.

\clearpage
\newpage


\section{Ejercicios prácticos}

\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item  Se analiza la concentración de principio activo en una
muestra de 10 envases tomados de un lote de un fármaco, obteniendo
los siguientes resultados en mg/mm$^{3}$:
\[ 17.6 - 19.2 - 21.3 -
15.1 - 17.6 - 18.9 - 16.2 - 18.3 - 19.0 - 16.4
\]

Se pide:

\begin{enumerate}
\item  Crear la variable \variable{Concentración}, e introducir los
datos de la muestra.

\item  Calcular el intervalo de confianza para la media de la
concentración del lote con nivel de confianza del 95\% (nivel de
significación $\alpha =0.05$)
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Describir->Datos Numéricos->Análisis de Una Variable}.
\item Seleccionar la variable \variable{Concentración} en el campo \texttt{Datos} del cuadro de diálogo.
\item Hacer click en el botón \boton{Tablas} de la ventana de resultados y activar
la casilla \opcion{Intervalos de Confianza}.
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre los resultados obtenidos
y seleccionar \opcion{Opciones de Ventana}.
\item Introducir el nivel de confianza deseado en el campo \texttt{Nivel de Confianza}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Calcular los intervalos de confianza para la media con niveles del 90\% y
del 99\%.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre los resultados obtenidos en el apartado
anterior y seleccionar \opcion{Opciones de Ventana}.
\item Introducir sucesivamente los niveles de confianza deseados en el campo \texttt{Nivel de Confianza}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item  ¿Cómo afecta a la imprecisión del intervalo de confianza el tomar niveles de significación
cada vez más bajos? ¿Cuál puede ser la explicación?

\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Al tomar niveles de significación más bajos los intervalos de confianza son más imprecisos.
\item Si el nivel de significación es más bajo, el nivel de confianza será más alto, y por consiguiente el
intervalo de confianza será más ancho, es decir, más impreciso.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item  De todos los tipos de intervalos expuestos en la introducción teórica de la práctica,
¿cuál crees que utiliza el programa para el cálculo de los intervalos anteriores?

\item Si para que sea efectivo, el fármaco debe tener una concentración
mínima de 16 mg/mm$^3$ de principio activo, ¿se puede aceptar el lote como bueno?
\begin{indicacion}{
Se aceptará el lote como bueno, con un cierto nivel de confianza, si
para ese nivel el intervalo de confianza correspondiente se
encuentra por encima de 16 mg/mm$^3$.}
\end{indicacion}

\end{enumerate}

\item  Una central de productos lácteos recibe diariamente la
leche de dos granjas $X$ e $Y$. Para analizar la calidad de la
leche, durante una temporada, se controla el contenido de materia
grasa de la leche que proviene de ambas granjas, con los
siguientes resultados:
\[
\begin{array}{ll|ll}
\multicolumn{2}{c|}{X} & \multicolumn{2}{c}{Y} \\
\hline
0.34 & 0.34 & 0.28 & 0.29 \\
0.32 & 0.35 & 0.30 & 0.32 \\
0.33 & 0.33 & 0.32 & 0.31 \\
0.32 & 0.32 & 0.29 & 0.29 \\
0.33 & 0.30 & 0.31 & 0.32 \\
0.31 & 0.32 & 0.29 & 0.31 \\
 &  & 0.33 & 0.32 \\
 &  & 0.32 & 0.33 \\
\end{array}
\]

\begin{enumerate}

\item Crear las variables \variable{Materia grasa} y
\variable{Granja}, e introducir los datos de la muestra.
\begin{indicacion}{
En la variable \variable{Materia grasa} introducir todos los datos
de contenido de materia grasa de la leche, tanto de la granja $X$
como de la $Y$, y en la variable \variable{Granja} poner $X$ ó $Y$
según la granja de procedencia.}
\end{indicacion}

\item Calcular el intervalo de confianza con un 95\% de confianza
para el contenido medio de materia grasa de la leche sin tener en
cuenta si la misma procede de una u otra granja.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Describir->Datos Numéricos->Análisis de Una Variable}.
\item Seleccionar la variable \variable{Materia grasa} en el campo \texttt{Datos} del cuadro de diálogo.
\item Hacer click en el botón \boton{Tablas} de la ventana de resultados y activar
la casilla \opcion{Intervalos de Confianza}.
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre los resultados obtenidos
y seleccionar \opcion{Opciones de Ventana}.
\item Introducir el nivel de confianza deseado en el campo \texttt{Nivel de Confianza}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Calcular los intervalos de confianza con un 95\% de
confianza para el contenido medio de materia grasa de la leche
dividiendo los datos según la granja de procedencia de la leche.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Describir->Datos Numéricos->Análisis de Una Variable}.
\item Seleccionar la variable \variable{Materia grasa} en el campo \texttt{Datos} del cuadro de diálogo,
e introducir en el campo \texttt{Selección} la condición
\texttt{Granja="X"} o \texttt{Granja="Y"} según queramos trabajar
con la muestra de la granja $X$ o de la granja $Y$ respectivamente.
\item Hacer click en el botón \boton{Tablas} de la ventana de resultados y activar la
casilla \opcion{Intervalos de Confianza}.
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre los resultados obtenidos
y seleccionar \opcion{Opciones de Ventana}.
\item Introducir el nivel de confianza deseado en el campo \texttt{Nivel de Confianza}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}


\item A la vista de los intervalos obtenidos en el punto anterior,
¿se puede concluir que existen diferencias significativas en el
contenido medio de grasa según la procedencia de la leche?

\begin{indicacion}{
Como el intervalo correspondiente a la granja X se encuentra
íntegramente por encima del intervalo correspondiente a la granja Y,
puede afirmarse, con un nivel de confianza del 95\%, que el
contenido medio de grasa es superior en la leche de la granja X.}
\end{indicacion}

\end{enumerate}



\item En una encuesta realizada en una facultad, sobre si los
alumnos utilizan habitualmente (al menos una vez a la semana) la
biblioteca de la misma, se han obtenido los siguientes resultados,
en los que se ha anotado 1 si la respuesta ha sido positiva y 0 si
ha sido negativa:
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Alumno} & \multicolumn{1}{c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{2} & \multicolumn{1}{c|}{3} & \multicolumn{1}{c|}{4} & \multicolumn{1}{c|}{5} & \multicolumn{1}{c|}{6} & \multicolumn{1}{c|}{7} & \multicolumn{1}{c|}{8} & \multicolumn{1}{c|}{9} & \multicolumn{1}{c|}{10} & \multicolumn{1}{c|}{11} & \multicolumn{1}{c|}{12} & \multicolumn{1}{c|}{13} & \multicolumn{1}{c|}{14} & \multicolumn{1}{c|}{15} & \multicolumn{1}{c|}{16} & \multicolumn{1}{c|}{17} & \multicolumn{1}{c|}{18} \\
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Respuesta} & \multicolumn{1}{c|}{0} & \multicolumn{1}{c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{0} & \multicolumn{1}{c|}{0} & \multicolumn{1}{c|}{0} & \multicolumn{1}{c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{0} & \multicolumn{1}{c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{0} & \multicolumn{1}{c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{0} & \multicolumn{1}{c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{0} & \multicolumn{1}{c|}{0} & \multicolumn{1}{c|}{0} \\
\hline
\end{tabular}

\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Alumno} & \multicolumn{1}{c|}{19} & \multicolumn{1}{c|}{20} & \multicolumn{1}{c|}{21} & \multicolumn{1}{c|}{22} & \multicolumn{1}{c|}{23} & \multicolumn{1}{c|}{24} & \multicolumn{1}{c|}{25} & \multicolumn{1}{c|}{26} & \multicolumn{1}{c|}{27} & \multicolumn{1}{c|}{28} & \multicolumn{1}{c|}{29} & \multicolumn{1}{c|}{30} & \multicolumn{1}{c|}{31} & \multicolumn{1}{c|}{32} & \multicolumn{1}{c|}{33} & \multicolumn{1}{c|}{34} \\
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Respuesta} & \multicolumn{1}{c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{0} & \multicolumn{1}{c|}{0} & \multicolumn{1}{c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{0} & \multicolumn{1}{c|}{0} & \multicolumn{1}{c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{0} & \multicolumn{1}{c|}{0} & \multicolumn{1}{c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{0} & \multicolumn{1}{c|}{1} & \multicolumn{1}{c|}{0} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Crear la variable \variable{Respuesta} e introducir los datos de la muestra.

\item Calcular el intervalo de confianza con $\alpha=0.1$ para la media de la variable  \variable{Respuesta}.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Describir->Datos Numéricos->Análisis de Una Variable}.
\item Seleccionar la variable \variable{Respuesta} en el campo \texttt{Datos} del cuadro de diálogo.
\item Hacer click en el botón \boton{Tablas} y activar la casilla \opcion{Intervalos de Confianza}.
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre la ventana de resultados obtenida y
seleccionar \opcion{Opciones de Ventana}.
\item Introducir el nivel de confianza deseado, es decir 90\%, en el campo \texttt{Nivel de Confianza}.
\end{enumerate}
Otra posible forma de hacerlo sería:
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Describir->Contraste de Hipótesis}.
\item En el cuadro de diálogo que aparece, seleccionar la opción \opcion{Proporción Binomial} en el campo \texttt{Parámetro}. 
\item Introducir la proporción muestral de personas que utilizan hatibualmente la biblioteca, que es $0.470588$, en el campo \texttt{Proporción de la Muestra}.
\item Introducir el tamaño muestral en el campo \texttt{Tamaño de la Muestra}.
\item Hacer click sobre el botón \boton{Aceptar}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion} 

\item ¿Qué interpretación tiene dicho intervalo en términos de
proporción de alumnos que habitualmente utilizan la biblioteca?

\begin{indicacion}{
El intervalo obtenido en el apartado anterior establece los límites
entre los que se encuentra la proporción de alumnos que utilizan
habitualmente la biblioteca, con un nivel de confianza del 90\%. }
\end{indicacion}
\item ¿Qué tamaño muestral tendríamos que tomar si pretendemos estimar la proporción poblacional
con un error no mayor de $\pm \ 0.05$?
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Herramientas->Determinación del Tamaño de Muestra->Una Muestra}.
\item Seleccionar \opcion{Proporción Binomial} en el campo \texttt{Parámetro} del cuadro de diálogo, e introducir
la proporción obtenida en la muestra, que es $0.470588$ en el campo
\texttt{Proporción Hipotética}.
\item En el siguiente cuadro de diálogo, introducir la cota de error deseada $0,05$ en el campo \texttt{Error Absoluto}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}


\end{enumerate}

\item En un estudio sobre el consumo anual de cerveza entre los
jóvenes de 18 años de una ciudad, se obtuvo la
siguiente muestra (medida en litros):

\[
42-16-60-29-7-20-30-25-38-5
\]

\begin{enumerate}
\item Crear la variable \variable{Cerveza} e introducir los datos de
la muestra.

\item Calcular el intervalo de confianza del $95\%$ para la media
de la variable \variable{Cerveza}.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Describir->Datos Numéricos->Análisis de Una Variable}.
\item Seleccionar la variable \variable{Cerveza} en el campo \texttt{Datos} del cuadro de diálogo.
\item Hacer click en el botón \boton{Tablas} de la ventana de resultados y activar la
casilla \opcion{Intervalos de Confianza}.
\item Hacer click con el botón derecho del ratón sobre los resultados obtenidos y seleccionar \opcion{Opciones de Ventana}.
\item Introducir el nivel de confianza deseado en el campo \texttt{Nivel de Confianza}.

\end{enumerate}}
\end{indicacion}

\item Si se considera que un consumo medio por debajo de 40 litros
no es peligroso, ¿se puede afirmar con un nivel de confianza del
$95\%$ que la población de partida no está en peligro?
\begin{indicacion}{
Como el intervalo de confianza obtenido en el apartado anterior está
íntegramente por debajo de 40 litros, puede afirmarse al nivel de
confianza del $95\%$ que la población de partida no está en
peligro.}
\end{indicacion}
\item Calcular la media y la desviación típica de la muestra.
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Describir->Datos Numéricos->Análisis de Una Variable}.
\item Seleccionar la variable \variable{Cerveza} en el campo \texttt{Datos} del cuadro de diálogo.
\item Hacer click en el botón \boton{Tablas} de la ventana de resultados y activar la
casilla \opcion{Resumen Estadístico}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}


\item ¿Qué tamaño muestral sería necesario si queremos estimar el consumo medio de cerveza de la población
con un error no mayor de $\pm$ 5 litros? ¿Y con un error no mayor de $\pm$ 1 litro?
\begin{indicacion}{
\begin{enumerate}
\item Seleccionar el menú \menu{Herramientas->Determinación del Tamaño de Muestra->Una Muestra}.
\item Seleccionar \opcion{Media Normal} en el campo \texttt{Parámetro} del cuadro de diálogo, e introducir
la media y la desviación típica obtenidas en el apartado anterior,
en los campos \texttt{Media Hipotética} y \texttt{Desv. Std. Hipotética} respectivamente.
\item En el siguiente cuadro de diálogo, introducir la cota de error deseada en el campo \texttt{Error Absoluto}.
\end{enumerate}}
\end{indicacion}
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\section{Problemas}

\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item  Para determinar el nivel medio de colesterol en la sangre
de una población, se realizaron análisis sobre una muestra
de 8 personas, obteniéndose los siguientes resultados:
\[
196-212-188-206-203-210-201-198
\]

Hallar los intervalos de confianza para la media del nivel de
colesterol con niveles de significación $0.1$, $0.05$ y $0.01$.


\item Se realizan 16 determinaciones de la actividad radiactiva de
una muestra de material. Sus resultados en Curios fueron:

\[
\begin{array}{cccccccc}
286.53 & 254.54 & 284.55 & 286.30 & 272.52 & 282.90 & 283.85 & 253.75 \\
252.01 & 245.26 & 275.08 & 266.08 & 267.53 & 252.05 & 253.82 & 269.81 \\
\end{array}
\]

Calcular los intervalos de confianza al  $90\%$ y al $99\%$ para la
media de la actividad radiactiva. ¿Qué tamaño muestral sería
necesario para estimar la media poblacional de la actividad
radiactiva con un error máximo de $\pm$ 2 Curios?

\item Para tratar un determinado síndrome neurológico se utilizan
dos técnicas $A$ y $B$. En un estudio se tomó una muestra de 60
pacientes con dicho síndrome, y se les aplicó la técnica $A$ a 25 de
ellos y la técnica $B$ a los 35 restantes. De los pacientes tratados
con la técnica $A$, se curaron 18, mientras que de los tratados con
la técnica $B$ se curaron 21. Calcular un intervalo de confianza del
95\% para la proporción de curaciones con cada técnica.
\end{enumerate}
